SOLICITUD DE ADMISIÓN

Lugar: CIMAT Guanajuato

Análisis

Curso: Espacios de Hilbert de funciones holomorfas.

Raul Quiroga

Los espacios de Hilbert son la generalización natural de los espacios vectoriales de dimensión finita estudiados en álgebra lineal. Sin embargo, el paso a dimensión infinita trae consigo algunas variaciones importantes. En primer lugar, las bases ortonormales en espacios de Hilbert de dimensión infinita expresan a los vectores a través de series en lugar de sumas finitas. Además, las transformaciones lineales no son siempre contínuas. Quizás más importante aún, los principales ejemplos de espacios de Hilbert en dimensión infinita pasan a ser espacios de funciones con propiedades especiales, lo cual contrasta con los espacios de n-tuplas de números que se estudian en álgebra lineal. Por otro lado, entre las transformaciones lineales se pueden considerar ahora operadores de integración y de derivación. Considerando todo lo anterior, resulta que los espacios de funciones contínuas o diferenciables, en el sentido real, no proporcionan ejemplos adecuados de espacios de Hilbert. Sin embargo, las funciones holomorfas, también conocidas como análiticas complejas, es decir diferenciables en el sentido complejo, sí que proporcionan ejemplos interesantes de espacios de Hilbert. Más específicamente, el espacio de funciones holomorfas que son además cuadrado integrables, ya sea en el sentido de Lebesgue o de algunas otras medidas, forman un espacio de Hilbert.

En este curso estudiaremos tales espacios de funciones holomorfas, sus propiedades y algunos operadores contínuos sobre tales espacios. Veremos cómo estas nociones nos introducen a un tema que involucra análisis complejo, análisis funcional, teoría de operadores y representaciones unitarias de grupos de Lie.

Conferencia 1 Maite Fernández
Título: Extensión de funciones: una misma pregunta, distintos contextos

Resumen: Si en el mundo de las matemáticas levantaras una piedra, seguramente te encontrarías con algún problema de extensión de funciones; en cada contexto, sin embargo, éste aparece con una formulación propia.

En esta plática repasaremos algunos de los teoremas de extensión de funciones más conocidos del Análisis, haciendo énfasis en cómo en ellos se sintetizan  aspectos fundamentales de la teoría.

Entre los teoremas que veremos bajo esta óptica se encuentran el teorema de extensión de funciones uniformemente continuas definidas en un subconjunto denso; el teorema de Tietze de extensión de funciones continuas en espacios normales; el teorema de McShane para funciones Lipschitz en espacios métricos; el teorema de Hahn-Banach de extensión de funcionales lineales continuos, así como algunos teoremas de extensión de operadores acotados.
En cada caso analizaremos las hipótesis cruciales y la manera en la que éstas perfilan  los límites de validez del resultado.
 

Conferencia 2 James Melbourne

Título por confirmar

Sistemas Dinámicos

Curso: Dinámica Conservativa

Renato Iturriaga

La dinámica conservativa tiene su origen en la mecánica y desde este descubrimiento de hace más de 300 años ha evolucionado en muchas direcciones. Exploraremos algunas de ellas.

Conferencia 1 Estabilidad y bifurcación

Monica Moreno

En la teoría de los sistemas dinámicos, la estabilidad y la bifurcación son propiedades complementarias entre sí: a grandes rasgos, si un sistema dinámico mantiene sus características principales bajo pequeñas perturbaciones, entonces se le denomina estable, de otra forma, resulta inestable y en este caso nos interesa entender qué es lo que cambia bajo perturbación. En esta charla veremos estas dos propiedades desde el punto de vista de la dinámica de iteración de funciones de variable compleja, haciendo énfasis en algunas de las preguntas abiertas del área.

Conferencia 2 Rafael Alcaraz
Título: Caos (topológico) y su tamaño

Resumen: Algunas de las ideas matemáticas más conocidas fuera de ellas son el “efecto mariposa”, la “teoría del caos” y los “fractales”. Aunque estos conceptos aparecen con frecuencia en la cultura popular, sus significados matemáticos son más ricos y sutiles de lo que parece. En esta charla veremos que no existe una única definición de caos topológico ni de fractal, y exploraremos cómo estas ideas surgen de manera natural en el estudio de sistemas dinámicos discretos en el intervalo y el círculo. A través de ejemplos sencillos discutiremos cómo comportamientos caóticos emergen a partir de reglas sencillas. Además, ilustraremos que en dinámica unidimensional, algunos conjuntos caóticos tienen volumen nulo, pero tamaño fractal positivo.