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CURSOS

Métodos de deformación en álgebra y topología
Por: José María Cantarero

La topología algebraica clásica se basa en dos conceptos fundamentales, deformar y pasar de continuo a discreto. Más precisamente, se usa para resolver problemas que se pueden reducir a un problema de deformación (homotopía) y los resuelve usando invariantes homotópicos, que suelen ser objetos algebraicos, como números enteros, grupos, anillos, etc. Este tratamiento ha sido exitoso, con lo cual se ha buscado extender este método a otras áreas. 
En este curso comenzaremos repasando las nociones básicas de homotopía y algunos invariantes homotópicos básicos, con cálculos. Después veremos cómo resolver algunos problemas que no son obviamente de deformación mediante estos invariantes. En la segunda parte del curso analizaremos qué es lo que nos permite deformar los espacios topológicos, y cómo hacerlo en otros contextos, como en álgebra homológica, conjuntos simpliciales, diagramas, entre otros. Tras esta abstracción aparece otra estrategia que se repite a menudo en matemáticas, que es la de aproximar un objeto que no se comporta como queremos por medio de objetos con los que sí sabemos trabajar. Esta es la idea principal de la teoría de categorías de modelos.

Prerrequisitos: Haber tomado cursos de topología general y teoría de grupos.

Posición general en Geometría y Topología
Por:  Omegar Calvo Andrade 

Estudiaremos algunos resultados sobre la topología y la geometría de variedades diferenciables utilizando técnicas del cálculo diferencial.
El curso consta de 5 sesiones planeadas en el siguiente orden.

1. Introduciremos el concepto de variedad diferenciable de dimensión k, como un subconjunto de X ⊂ R n+k que ‘‘localmente se parece’’ a Rk. Cuando tengamos dos variedades X, Y, tenemos a las funciones diferenciables entre ellas f ∈ C∞(X, Y ) Dado p ∈ X una variedad de dimensión k le podemos asociar un espacio vectorial de dimensión k que llamaremos espacio tangente y denotado por TpX, si además tenemos f ∈ C∞(X, Y ) tal que f(p) = q ∈ Y, tiene asociada una aplicación lineal dfp ∈ Hom(TpX,TqY ).
2. Extenderemos el teorema de la función inversa en variedades e introduciremos el concepto de “intersección transversal” y de “variedades con frontera”.
3. Después de ver la clasificación de variedades de dimensión uno con frontera, introduciremos los “números de intersección módulo 2” y algunas consecuencias.
4. Vamos a definir el concepto de orientación y los números de intersección orientados. Daremos algunas aplicaciones a problemas topológicos.
5. Continuaremos con aplicaciones de los números de intersección orientados para el estudio de variedades diferenciables.

Como conocimientos previos, necesitamos álgebra lineal y cálculo diferencial en varias variables incluyendo el conocimiento del teorema de la función inversa."   

CONFERENCIAS

Conferencia 1. Invariantes de Nudos.
Por: Araceli Guzmán Tristán

Los nudos son objetos homeomorfos al círculo que viven en el espacio de dimensión 3. Dos nudos son equivalentes si podemos deformar uno de ellos sin "romperlo" para que se vea como el otro. El problema central en la Teoría de Nudos consiste en poder decir cuando dos nudos arbitrarios son, o no, equivalentes. En esta plática veremos qué tan difícil puede ser responder esta pregunta y conoceremos algunas técnicas utilizadas para dar respuestas parciales.

Conferencia 2. Sobre espacios de configuraciones.
Por  Maria Teresa Idskjen Hoekstra Mendoza

Dado un espacio topológico $X$, su espacio de configuraciones ordenado en $n$ puntos es el espacio que pueden ocupar $n$ fichas distinguibles moviéndose sobre $X$ sin chocar. Similarmente el espacio desordenado de $X$ en $n$ puntos es el espacio que pueden ocupar $n$ fichas distinguibles moviéndose sobre $X$ sin chocar. En esta plática veremos cuales son los espacios de configuraciones para algunos espacios euclidianos y para gráficas vistas como espacios topológicos de dimensión uno. Si nos alcanza el tiempo veremos también distintas versiones de los espacios de configuraciones donde ciertos choques están permitidos o ciertas condiciones adicionales son requeridas, como por ejemplo que ciertos puntos de $X$ nunca se queden vacíos.

Conferencia 3. Flujos Geométricos.
Por  Jimmy Petean

FECHAS IMPORTANTES

Fecha límite de registro: 20 de marzo