Cuarta Escuela Temática en  Álgebra y Geometría Algebraica.

11 al 15 de diciembre 2023.

 

REGISTRO

 

Programa

	Lunes	Martes	Miércoles	Jueves	Viernes
09:30-11:00	Javier Carvajal (CIMAT-Guanajuato)				Evaluación
11:00-11:30	Descanso
11:30-13:00	Cristhian Garay (CIMAT-Guanajuato)
13:00-14:00	Comida
14:00-15:00					Taquiza
15:00-16:00	Gabriela Guzmán (CIMAT-Guanajuato)	Sesión de problemas	Oziel Gómez (CIMAT-Guanajuato)	Sesión de problemas
16:00-16:30	Descanso
16:30-17:30	Wágner Badilla (CCM-UNAM)	Sesión de problemas	Rogelio Pérez (CIMAT-Mérida)	Sesión de problemas
17:30-18:00	Sesión de Posters		Presentación del posgrado CIMAT

 

CURSOS

Midiendo singularidades con Frobenius
Javier Carvajal. Notas

La geometría algebraica es una geometría en la cual las singularidades juegan un papel estelar. No solo tienen las variedades algebraicas singularidades sino que definir una variedad algebraica (proyectiva) conlleva definir una singularidad. Piénsese en el origen del cono definido por la ecuación $z^2=x^2+y^2$.

En particular, en geometría algebraica y álgebra conmutativa nos interesa poder decir qué tan severa es una singularidad y cómo esta afecta la geometría de la variedad ambiente.

Sin embargo, esto es particularmente retador sobre cuerpos de característica positiva. Afortunadamente, el morfismo de Frobenius nos provee con métodos para estudiar y medir singularidades.

Este mini-curso va a ser una breve introducción a estos temas con un énfasis en la teoría de F-singularidades y sus invariantes numéricos.

Aún si estos son temas de investigación actual, vamos a presentar las ideas básicas de la manera más elemental posible. No obstante, un conocimiento básico del lenguaje de módulos y anillos es deseado (digamos los primeros tres capítulos del libro de álgebra conmutativa de Atiyah y MacDonald).

 

La geometría algebraica de los semianillos conmutativos
Cristhian Garay

Las estructuras algebraicas son de gran ayuda en Matemáticas. Por ejemplo, una de las más utilizadas es el concepto de anillo (conmutativo con identidad), el cual es estudiado por el área conocida como álgebra conmutativa, y juntos conforman la parte técnica de una teoría geométrica muy poderosa conocida como la teoría de esquemas.
Los semianillos (conmutativos con identidad) como tales se pueden definir como anillos, pero en los que no necesariamente tenemos el poder de efectuar restas; el ejemplo prototípico es el conjunto de los números naturales equipado con las operaciones usuales.
Entonces, los semianillos generalizan a los anillos, y muchas construcciones del álgebra conmutativa se pueden extender a este nuevo mundo. Después de ver algunas de estas construcciones para semianillos (y sus diferencias con las correspondientes construcciones en anillos), nos enfocaremos en los semianillos (aditivamente) idempotentes: aquellos que cumplen que $a+a=a$ para todo elemento $a$.
Estos objetos han tomado relevancia en las últimas décadas, porque se espera que jueguen un papel importante en la formulación algebraica de algunas teorías geométricas nuevas, como la geometría no-arquimediana, la geometría tropical, y la teoría de valoraciones. Nuestro objetivo es estudiar la geometría algebraica de estos objetos y conectarla con estas teorías.
 

 

CONFERENCIAS

La Mer Montante: Desde la aritmética hacia la geometría algebraica a través de sistemas dinámicos.
Rogelio Pérez

La charla será un recorrido ascendente desde sistemas dinámicos aritméticos elementales hacia complejas estructuras en geometría algebraica como la curva fundamental de la teoría p-ádica de Hodge. Se abordarán temas como el Teorema Chino del Residuo, teoría de números y geometría p-ádica, y sistemas dinámicos en espacios de Berkovich, culminando en aplicaciones a la curva de Fargues-Fontaine. Se presentarán investigaciones emergentes en áreas de aplicación como la biología.

 

A^1-homotopía elemental de funciones racionales del espacio proyectivo
Gabriela Guzmán

En topología algebraica, dos funciones continuas entre espacios X, Y se dicen homotópicas si se pueden deformar una en la otra de manera continua. Dicha deformación es parametrizada por el intervalo $[0,1]\subset R$, con la topología euclidiana.

¿Qué pasa si queremos estudiar homotopía para morfismos entre variedades algebraicas o esquemas? Si dichas variedades están definidas sobre el campo de los reales o de los complejos podemos trabajar en el contexto clásico, pero para campos arbitrarios K, esa solución deja de funcionar. En este caso sustituimos el intervalo [0,1], el cual no es una variedad algebraica, por la línea afín A^1 sobre un campo arbitrario K.

Con esta nueva noción de "intervalo", Fabien Morel y Vladimir Voevodsky desarrollaron la teoría de A^1-homotopía y construyeron una categoría adecuada para hacer topología algebraica para variedades algebraicas. La construcción de dicha categoría emplea herramientas sofisticadas y abstractas tanto de geometría algebraica como de teoría de homotopía. Más aún, calcular invariantes homotópicos para estos espacios es un problema no trivial. Sin embargo uno puede rescatar la noción de A^1-homotopía elemental, la cual no atrapa la información completa de la homotopía para esquemas, pero produce una relación de equivalencia interesante.

En esta plática estudiaremos las clases de A^1-homotopía elemental para los endomorfismos del espacio proyectivo P^1 sobre K. En particular estudiaremos la estructura de monoide que forman las clases de A^1-homotopía elemental [P^1, P^1]^E, \oplus^E) y su relación con la noción correcta de A^1-homotopía, dichas estructuras cargan información aritmética importante del campo K.

 

Derivaciones de las álgebras locales de explosiones de Nash de orden superior.
Wágner Badilla

En esta charla hablaremos sobre las álgebras locales de explosiones de Nash de orden superior, un invariante de singularidad recientemente introducido. En orden uno estas álgebras coinciden con la clásica álgebra de Tjurina. En la segunda parte de la charla, hablaremos de la conjetura sobre la inexistencia de derivaciones homogéneas de peso negativo sobre estas álgebras en el caso de singularidades de hipersuperficies aisladas homogéneas con peso.

 

Separatrices de foliaciones y sus invariantes analíticos
Oziel Gómez

Resumen: Dada una ecuación diferencial analítica en una vecindad del origen en el plano complejo, las soluciones dan una partición de dicho espacio. Dicha partición es conocida como foliación, y las imágenes de las soluciones son conocidas como hojas de la foliación.
De especial interés son las hojas de una foliación que se extienden de manera analítica al punto singular; es decir, aquellas que son el lugar de ceros de una función analítica. Dichas hojas son conocidas como separatrices.
En esta charla estudiaremos una familia de foliaciones del plano complejo que admiten una infinidad de separatrices. En particular, estudiaremos cómo son los invariantes analíticos de las separatrices para esta familia, siguiendo el estudio de clasificación analítica de ramas planas, que fue propuesto por O. Zariski en la década de 1960.

 

 

FECHAS IMPORTANTES

Fecha límite de registro: viernes 27 de octubre

Nota: Los resultados se darán a conocer el viernes 3 de noviembre